Über die Techniken von Mandelbrot haben wir für Trends in Finanzzeitreihen fraktale Charakteristiken gefunden, die den Momentum-Effekt erklären. Überraschenderweise kann man über dieselben Techniken, wie in der nachfolgenden Grafik dargestellt, direkt zeigen, dass Mandelbrot’s Vorstellung fraktaler Märkte nicht nur eine Vision ist:

Rekursive Trendzerlegung des DAX

Die Struktur der Finanzzeitreihen (hier DAX Perfofmance-Index von 1994 – 2014) kann rekursiv beschrieben werden. Ausgehend von der originalen Zeitreihe oben links können wir den Haupttrend (oben rechts) abziehen und bekommen das Residuum (zweite Zeile links), d.h. den Rest. Diese Prozedur können wir nun auf dem so gewonnenen Residuum wiederholen: Wieder ziehen wir wesentliche Trends (zweite Zeile rechts) von dem zuvor gewonnenen Residuum (Rest) ab und erhalten ein neues Residuum mit feineren Strukturen (dritte Zeile links). Das Ganze kann wiederholt werden und führt in eine rekursive Beschreibung des Original-Signals.

Mandelbrot Markt-Modell

Da die oben beschriebene Zerlegung reversibel ist, können wir die ganze Zerlegung umkehren: Es entsteht das Mandelbrot Markt-Modell. Haupt-Trends werden unterteilt durch Untertrends, die wiederum durch Untertrends unterteilt werden. Da diese Rekursion theoretisch unendlich ist und weiter die so erzeugten Charts eine gebrochene Dimension haben, sind die generierten Zeitreihen ein Fraktal. 

Insbesondere können wir die sich ergebenden Trends als Zufallsprozesse auffassen. Durch Monte-Carlo-Simulationen kann nun gezeigt werden, dass diese Vorstellung von Mandelbrot den Momentum-Effekt erklärt, während klassische Zufallsprozesse dies nicht können.

Was sind die Implikationen?

Literatur

  • Berghorn, Wilhelm, Trend Momentum, Quantitative Finance, Volume 15, Issue 2, 2015, 261-284 http://dx.doi.org/10.1080/14697688.2014.941912
  • Berghorn, Wilhelm and Otto, Sascha, Mandelbrot Market-Model and Momentum, 

    International Journal of Financial Research, Volume 8, No. 3, 2017 https://doi.org/10.5430/ijfr.v8n3p1

  • Berghorn, Wilhelm, and Otto, Sascha, Momentum: An Economic View, International Journal of Financial Research, Volume 8, No. 3, 2017, https://doi.org/10.5430/ijfr.v8n3p142.
  • Mandelbrot, B., How Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street, Scientific American, Sep. 2008, http://www.scientificamerican.com/article/multifractals-explain-wall-street/
  • Mandelbrot, Benoit B. and Fisher, Adlai J. and Calvet, Laurent E., A Multifractal Model of Asset Returns (September 15, 1997). Cowles Foundation Discussion Paper No. 1164; Sauder School of Business Working Paper. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=78588
  • Mandelbrot, B., Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk, Springer, 1997, ISBN-13: 978-0387983639
  • Mandelbrot, B.,The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence, Basic Books; annotated edition edition, 2006,  ISBN-13: 978-0465043576.